Aproximar una raíz cuadrada rápidamente (menores a 10000)

Aclaración: voy a hablar sobre cómo estimar los decimales después de la coma, no de cómo estimar la parte entera.

Sí, es bastante útil saber los cuadrados del 0 al 100 de memoria. :p

Pasos:

1. Hallar el entero más cercano que al elevarlo al cuadrado de algo menor a nuestro número. Le vamos a decir A.
1. Ejemplo: ¿raíz de 1000? 32² es 1024 y me paso, 31² es 961, por lo que la rta. es 31.
2. Ejemplo 2: ¿raíz de 1427? 38² es 1444 y me excedo, 37² es 1369, por lo tanto la rta. es 37.
2. Restar el cuadrado de A del número al que querés radicar; le vamos a decir D (por 'diferencia').
1. Ejemplo: en el caso de 1000, le debo restar 31² = 961 para obtener 39.
2. Ejemplo 2: en el caso de 1427, le debo restar 37² = 1369 para obtener 58.
3. Multiplicar A por 2.
4. Calcular aproximadamente, redondeando fuerte, D / (2A). Lo vamos a llamar M (por 'mantisa').
5. Sumar A + M para obtener el resultado final.

Algunos ejemplos:

¿Raíz cuadrada de 6666? Esto está cerca de 6400=80², así que A va a estar cerca de 80.

81² es 6561, 82² es 6724; me pasé, así que A = 81.

La diferencia D es 6666-6561 = 105.

La mantisa M es 105/162, aproximadamente 10/16 que es 5/8 = 0.625

Por lo que estimamos raíz de 6666 como 81.625. El resultado exacto es 81.6455...

Nota: 105/162 es exactamente 0.6481..., así que eso nos daría un resultado final casi exacto. Cuanto menos redondeo, mejor.

¿Raíz cuadrada de 9432? Sé que 97² es 9409 y 98² es 9604, así que A = 97.

La diferencia entre 9432 y 9409 es D = 23.

La mantisa M es 23/194, lo que es casi 25/200 = 1/8 = 0.125.

Así que estimamos que la raíz de 9432 es 97.125. El resultado exacto es 97.118484...

Bonus: también podemos calcular A como el primer entero que supera al número en cuestión; la única diferencia es que M quedará negativo:

¿Raíz cuadrada de 2020? Me acuerdo que 45² es 2025; se pasa, pero vamos a usarlo.

La diferencia D es 2020-2025 = -5 (¡negativo!).

La mantisa M será -5/90 = -1/18 = (-1/2) * (1/9) = la mitad de -0.1111... = -0.05555...

Por lo que estimamos que la respuesta será 44.94444... La respuesta exacta es 44.9444101 (!!!!!)

Podemos ver que esto funciona de maravilla cuando calculamos bien la mantisa, y cuando el resultado está cerca de un entero.

A continuación una breve explicación de su funcionamiento:

Queremos hallar la raíz cuadrada de un número N. Podemos estimar la parte entera con mucha facilidad, pero nos queda una parte fraccionaria. Entonces decimos:

√N = A + M

Siendo A la parte entera y M la parte fraccionaria.

Elevando ambos miembros al cuadrado hallamos que:

N = (A+M)² = A²+M²+2AM

No, no son las 2am ahora mismo.

En definitiva, vemos que el número N se puede descomponer como A²+M²+2AM.

Conocemos A², así que le vamos a restar eso a N para obtener:

N-A² = A²+M²+2AM-A² = M²+2AM

Y como estimamos que A será mucho mayor a M, podemos decir que estas dos expresiones son aproximadamente iguales:

M²+2AM ≈ 2AM

Entonces, concluimos aquí que:

N-A² = 2AM

Recordemos que N-A² es lo que antes hacíamos calculando, por ejemplo, 2020-1936 y llamábamos D (la diferencia entre el valor que tenemos y el cuadrado de nuestra estimación entera).

Despejamos la nueva mantisa M de allí y obtenemos:

M = D/(2A)

Finalmente, uniendo esta serie de deducciones estimamos:

√N ≈ A + (D / 2A)

Sólo quedará calcular bien D/(2A); cuanto menor la aproximación, menor el resultado, pero claro está que el resultado final también depende de cuán pequeño sea el valor exacto real de M (porque lo estamos reemplazando por 0 en un paso, para simplificar las cuentas).

Vemos que estas dos funciones son muy parecidas en el entorno de la raíz (en este caso, 10, ya que 10² = 100).

No hay más magia que esto, es una forma rara de hallar una aproximación lineal a la función cuadrática en ese punto, pero mecanizando un poco el método para que sea más fácil de hacer, por ejemplo, mentalmente.

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Sí, las maravillas de la cuarentena. No salgo hace casi 858 horas de casa.

Desde arriba

Situación... Cotidiana, sí, ya cotidiana. Veo el punto rojo en el cielo nocturno, y no hablo de Marte. No es una estrella.

Es un observador.

Siempre vengo, a la noche, y salgo al patio a hacerle compañía. Sé que me ves, y sé que me ves verte.

Es difícil describirlo. Es similar a las 'luces' de colores que se ven después de mirar fijo una luz, o después de tener un golpe fuerte, pero muy, muy tenue, y en un punto fijo en el cielo.

No se trata de un punto infinitamente pequeño como las estrellas que vemos, sino de un círculo un poco más grande, mucho más apagado, casi como si el cielo hubiera activado un botón de "grabando".

Transmite una maldad, una perversidad tan, tan profunda, que no existe ninguna palabra para describirla. No hay forma de comunicar los niveles de violencia, enojo, y odio que este punto conserva, concentrado mientras nos mira.

Primero pensé que era yo. Que tenía algún tipo de problema en la vista, y que veía cosas raras en el cielo oscuro. Pero al verlo allí todas las noches, por días y días, comencé a suponer que se trataba de algún tipo de artefacto espacial, ya sea humano o no humano.

Hasta que ese día, confirmé que era él.

Habíamos invitado a algunos amigos a cenar con la excusa de conocer al bebé; había nacido hace pocas semanas.

No solíamos traer mucha gente a casa, preferíamos pasarla por nuestra cuenta.

Preparamos una mesa en el patio; el clima estaba agradable esa noche y no había ni una sola nube en el cielo.

Empecé poniendo algunos platos, los que usábamos siempre para comer adentro. Pero claro, fue un error tentarlo de esa manera.

Los invitados llegaron temprano, y sólo habíamos puesto dos platos y nada más.

- Holaaa, cómo andan?

- Bieen, bien, gracias por la invitación!

- Pasen, pasen, estábamos poniendo la mesa, ya sale esto

Claramente el primer paso fue presentar el bebé. Ella se encargó de eso, y de paso les mostró un poco la casa, mientras yo llevaba los platos y vasos que faltaban a la mesa. Había sólo dos puestos.

Y uno movido.

Primero pensé que lo habría empujado alguien sin querer, quizás yo mismo involuntariamente. Lo acomodé, y lo vi. Ahí, donde todas las noches.

..."fuiste vos".

Subconscientemente había pensado en eso. "Es él. Pero, cómo..."

Corregí el plato movido, y lo miré con una mirada amenazadora. Pero, claro, qué podría hacer yo...

El otro plato se levantó en el aire, y golpeó la mesa fuerte. No se rompió, pero hizo mucho ruido.

Claro, todos miraron y vinieron a ver qué se me había caído.

- ¿Estás bien?

- Sí, sí... Tengan cuidado.

¿Cómo empezar a explicarlo? No se puede.

Mientras pensaba cómo, cómo siquiera iba a explicar lo que estaba por pasar, el otro plato se tira "solo" al piso y estalla en pedazos.

- Es él... Se escapó. Al final lo logró. Lo logró.

- ¿Qué? ¿Quién se escapó? ¿Qué está pasando?

En mi mente aparecieron los recuerdos de ese día; el día más violento del mundo.

...

[Golpes, puñetazos, sangre salpicando y demasiados insultos]

- ¡¡No te vas a escapar de acá, pedazo de basura!!

- ¡¡¡Matalo, rompele toda la cara!!!

- No, no, dejalo vivo, que se despierte cuando esté adentro ya...

- Traeme los ladrillos, dale, vení

- Lo que costó agarrarte eh, hijo de puta... Sabés todo el mal que causaste? Tenés idea?

- No puede responder, no ves que lo hicimos bolsa?

- Tenés razón, a ver traémelo...

Ese día fue el más escalofriante de mi vida. Estábamos en la base de la pirámide, por realizar un emparedamiento del científico más loco, más malvado, y más retorcido de toda la historia.

Ninguno de nosotros era violento; todo lo contrario. Nadie se hubiera imaginado haciendo algo tan terrible.

Por si no se entiende: íbamos a meter a una persona viva adentro de una pared, en la pirámide.

Este hombre, de nombre desconocido, había realizado pruebas de una perversidad sin nombre.

Decía él, entre delirios y gritos, que estaba a un paso de ser capaz de moverse en la cuarta dimensión espacial.

Realizaba sus experimentos con animales, la mayoría de los cuales terminaban horriblemente desmembrados, e incluso utilizó a algunas personas para otras pruebas...

Era un hombre loco, fuera de sí, inconsciente y únicamente dedicado a completar su objetivo: viajar en una cuarta dimensión, llevara lo que llevara.

A nosotros nos había robado las mascotas, y nuestras pertenencias, así como, suponemos, familiares de uno de los otros. En mi caso particular, me había intentado secuestrar a mí.

¿De dónde nos conocía? ¿Por qué a nosotros? No teníamos idea. ¿Llamar a la policía? No... Nuestra ira nos nubló el juicio, y pensamos directamente en tomar una venganza a mano propia.

Pensamos, muy erradamente, que esto sería lo mejor...

- Dale, dale que falta poco

- Tapá acá, acá, que te quedó un hueco

- Que no entre nada de aire, que no pueda ver nada

- Listo.

- Rajemos de acá y tapemos la salida

- Vamos, vamos

Lo metimos dentro de la pirámide, dentro de una pared, y cerramos todo, absolutamente todo para que no pueda salir. Tendría que haber derribado tres paredes extremadamente macizas y no tenía nada para hacerlo.

Pensábamos que eso iba a alcanzar, y sobrar.

Pero evidentemente no. El maldito había conseguido lo que siempre buscó. Al fin y al cabo, tenía razón.

- ¿Quién se escapó? ¿De qué hablás?

- Mirá... imaginate que, a ver, esperá que agarro una hoja.

[Se caen las sillas, 'por sí solas']

- Esta servilleta, imaginate que es un universo en dos dimensiones. Suponete que hay algunas criaturas que habitan acá, que solamente se pueden mover a lo largo del plano de la hoja. Si miro la hoja desde arriba, puedo verla entera. Sin embargo, las cosas que habiten acá no pueden mirar "para arriba", porque esa dimensión no existe en su realidad. Para ellos solamente tendría sentido mirar hacia los costados, hacia adelante, o hacia atrás. No hay más que eso. Bueno. De la misma manera, podríamos pensar que existe un entorno de cuatro dimensiones, en el que nosotros estamos contenidos. Podría haber una criatura, una cosa, algo que nos esté observando desde "arriba", y que nosotros no tengamos ni remotamente la chance de imaginar qué significa ese "arriba". No es posible.

[Se cierra la puerta de la cocina con la mayor fuerza que ví en mi vida]

- Bueno. Creo que hay alguien enojado con nosotros que puede hacer eso.

- ... Eh... P... ero... Pero cómo... Cómo nos defendemos de algo así...?

- No podemos. No hay donde esconderse. Vuelvo a la servilleta. Una 'cárcel' en esta hoja podría ser un cuadrado, y todos los reclusos estarían adentro del cuadrado. Pero si me metieran ahí, puedo escapar sin problemas por arriba, no me cuesta nada. Igualmente, no hay lugar donde se puedan esconder. No pueden hacer pozos, no pueden ir a ningún lado. Y sin embargo, nosotros podemos meternos en su universo y hacer lo que queramos. Ellos no van a ver más que una sección de nuestro cuerpo tridimensional, en su mundo plano. Así de libre se siente él ahora.

- ¿¿Quién es?? ¿¿¿Qué tiene contra nosotros???

- ¿Te acordás el día que llegué a las 2 de la mañana y te dije que me había quedado dormido en el colectivo? Bueno... Esto no tiene ningún sentido, parece un malo guión de una película, pero así fue... Un viejo loco de la cabeza me intentó secuestrar porque quería hacer experimentos para moverse en la cuarta dimensión...

- ¡Aaaahh!

[Uno de nuestros invitados se cayó al piso, con una pierna completamente rota]

La situación fue muy clara en mi mente. Los recuerdos volvieron, pero ahora me imaginé lo que habría pasado después...

La triple pared que le levantamos al demente, extremadamente malvado viejo no tenía sentido. Se debe haber reído muchísimo de nosotros. Todo lo que tuvo que hacer es escapar "por arriba", moviéndose en su bendita cuarta dimensión... Ni siquiera tuvo que romper ningún muro, ni derribar nada.

Y ahora, ahí estaba, mirándonos "desde arriba" como un punto rojo en el cielo...

Esperando para hacer lo que quisiera cuando tuviese ganas de hacerlo.

Mirándonos todas las noches, desde su cómodo lugar, sea donde fuera que esté, sabiendo que nunca, jamás, se había sentido tan libre como lo estaba ahora.

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Basado en un sueño real.

El cumple de la tía

Esto sucedió. No sé cuándo, no sé dónde, no sé a quién, pero sí.
Ya había mirado la hora hace un rato, pero no me acordaba qué había leído. Miré de nuevo, y decía 10:43. Bueno, supongo que esa es la hora. Hice mis cosas, algunos ejercicios de la guía de problemas que tenía que hacer, y después empecé a hacer el trabajo práctico de Paradigmas de Programación. Es una materia bastante interesante y muy copada.
Pasó un rato, así que miré de nuevo la hora.
10:40. Hm.
Qué raro... Hace un rato miré y creo que decía algo parecido. Bueno, debo estar confundido. Seguramente haya dicho 9:43 y yo pensé "son casi las 10" y ahora dice 10:40 así que el número 10 sigue ahí por más de que haya pasado 1 hora. O algo así.
Bueno, todavía es temprano, tengo tiempo de hacer mis otros trabajos en las otras materias.
...
Me llevó un buen rato, pero ya los terminé. Capaz, hm, podría practicar un poco 5x5. Sí, voy a hacer unas 20 solves. Si promedio más o menos 1:15, y mezclo en, qué se yo, 15 segundos, con inspección de 15, debería tardar una media hora en hacerlo.
Arranco, solve número uno...
...
Listo, solve número 30. Pasa rápido el tiempo cubeando. A ver, ¿qué hora es a todo esto?
...?
...
10:41. Huh. Em, pero definitivamente hace una o dos horas que ví la hora y decía casi lo mismo. Eh...... No, seguro me confundo. A veces el tiempo pasa más rápido de lo que en realidad es, ¿no? Seguro no me llevó tanto hacer los TPs y eso. Ni loco pasaron dos horas, jajaj, debe haber sido 20 minutos como mucho.
Tiene que haber sido.
Tiene que haber sido eso.

Ya hacía mucho que estaba en casa, sin salir, por el tema este de la pandemia y eso. Me acuerdo que pasamos el 25 de mayo acá en casa, todos desde los balcones agitando las banderas y hasta preparamos un locro. Hicimos otro también el 20 de junio, por el día de la bandera. Qué rico que es el locro, de verdad. Es una gran comida. Además, un poquito antes, el 5 de junio habíamos tenido un cumpleaños familiar, y decidimos hacer un mini festejo por videollamada, jaja, qué inesperado hubiera sido esto para nosotros hace un año...
También, en julio fue el primer cumpleaños de alguien en la casa. Compramos comida afuera para celebrar, y vimos una peli en Netflix.
Después de eso, pasamos por agosto para celebrar el cumple del abuelo, por Hangouts, y ya empezaba octubre con nuestros dos cumpleaños y el día de la madre, todo en la misma semana probablemente.
El año pasaba, no de la forma más 'tradicional', pero pasaba... Me acuerdo bastante bien lo que hicimos algunos de esos días, no todos porque eran casi siempre iguales.
Y a esta fecha estábamos, 13 de octubre ya... Pasa el tiempo.

Guido, vení a almorzar!

Uh, bueno, cierto, supongo que ya toca almorzar. No llegué a ver la hora, pero si ya prepararon entonces voy y como algo.

[En la mesa]

-B: Hmm, está muy rico el pescado este.
-H: Sí, la verdad que hoy me salió bastante bueno.
-B: ¿Cómo hoy? Siempre sale buenardium.
-H: Jajaj, gracias, gracias...
-G: Che, acordate de saludar a la tía que hoy es su cumpleaños
-H: ¿Hoy? No, la tía cumple más a fin de año, te equivocás.
-G: Por eso, hoy cumple años.
-H: No, no, no puede ser hoy.
-G: Sí, si hoy es 13 de octubre, es su cumple.
-B: XD ¿Qué decís? Estás hablando boludeces.
-G: ¿Cómo? 13 de octubre, ¡es su cumple!
-H: Sí, ya sé, pero hoy no es 13 de octubre gil!!!
-G: ... Bue, ahora ya estás diciendo cualquiera
-A: No, Guido, tiene razón XD Falta un montón para octubre
-G: ¿¿Eh?? Si ya veníamos hablando de que falta poco para el día de la madre y nuestros cumples, ¿qué decís?
-A: Jajajaj, no, ni idea qué decís, no creo que hablemos de eso en abril
-G: Cómo abril
-A: Sí, hoy es 9 de abril
-G: ¿Eh?
-A: Sí boludo, fijate en el celu o qué se yo, hoy es 9 de abril
-G: No puede ser, si abril pasó hace un montón
-B: No tarado, empezó hace unos días
[Agarro el teléfono, desesperando]
-G: EEHH?????? CÓMO QUE 9 DE ABRIL? WTF? ESTO TIENE QUE ESTAR MAL
[Me paro súbitamente, empujando el sillón hacia atrás, y voy corriendo, muy nerviosamente hacia mi habitación para ver mi celular. También decía 9 de abril]
ACÁ TAMBIÉN??? QUÉ????????
A ver la compu.
No puede ser, no tiene sentido, si ya pasó casi todo el año, ya hace meses que estoy en cuarentena, no puede ser 9 de abril... No puede haber recién empezado.......
No entiendo?!?!!
Google:
Tiempo para el día 9 de abril: soleado, máxima de 22 grados Celsius.

NO TIENE SENTIDOOOOOAAAAAAA

Por un minuto, póngase, querido lector, en los zapatos del personaje que experimentó este desapego temporal. Vivir todo un año encerrado, viendo cómo el tiempo pasa, y tras muchos meses de esto, ver que en efecto se encontraba aún en abril... ¿Cómo puede cualquier persona mantener su compostura ante esta situación? ¿Cómo se puede explicar a alguien la sensación de no poder confirmar qué día es, de no poder creer ni a los propios ojos, ni a la propia memoria?

Basado en un sueño real...

El día más aburrido

Todas las fechas son importantes para alguien. El nacimiento de un hijo, la muerte de un ser querido, el aniversario de la primera vez que se tiró en paracaídas o que probó los fideos de sangre de pato. Algunos días no son tan importantes pero sí entretenidos. El sólo hecho de ver una película buena puede hacer que un día no sea aburrido.

No estamos hablando de esto.

Un estudio (según diversas fuentes de Internet) llevado a cabo por la universidad de Cambridge, concretamente por William Tunstall-Pedoe, tras analizar 300 millones de efemérides que involucran sucesos notables, nacimientos o muertes de personajes famosos, concluyeron que el día domingo 11 de abril de 1954 fue el más aburrido desde el año 1900 hasta el presente, siendo que ese día no ocurrió absolutamente nada.

Ahora bien, yo no puedo evitar pensar:
Ese día murió y nació gente. Ese día muchos se casaron y muchos tuvieron las mejores noticias de su vida (sea cuales hayan sido).
Ese día puede haber sido el día más importante en la vida de alguien.
Pero esto no es relevante para nadie más.
Aunque... ¿Qué es relevante? Algo que valga la pena publicar en un diario, quizás, o algo que un grupo suficientemente grande de personas considere subjetivamente, "relevante".
Pero no hace falta eso.

El 11 de abril de 1954 ya no es el día más aburrido de la historia. ¿Por qué? Muy fácil: es el único día en el que no pasó nada. Eso ya lo hace interesante y por lo tanto no aburrido.
Esto no es un invento mío, hay una paradoja en el mundo matemático que trata de lo mismo: paradoja de números interesantes.

Así que voy a pensar algo más original.

¿Cómo sabemos que ese día no nació ningún famoso?

Vamos al año 2184, y nos enteramos que ese día cumple 130 años la primera persona en alcanzar esa edad. Es ahora famosa y por lo tanto nació alguien famoso el 11 de abril de 1954.

O bien, un edificio que fue construido ese día se recicla y utiliza como el primer hotel gratuito en Tuvalu. Así que el 11 de abril de 1954 se construyó el casco que permitió la creación de este edificio notable.

No sabemos.

Ni siquiera sabemos si, de la misma manera que un día aburrido puede convertirse en interesante, un día interesante puede convertirse en aburrido al cambiar el punto de vista. ¿Y si lo interesante es justamente que no haya sucedido nada? ¿Cuántos días así viviste en tu vida?

Después de todo, en la cuarentena no hay días, sino que sólo hay día. Quizás por eso Blogger dice que lo publiqué el 12; no conoce el calendario covid. Pero bueno, eso es otro tema.

Hoy es día

Hoy es día. El día de hoy. ¿Qué día es? El día. De día a veces, hasta que baja el sol, pero día todo el día. No conozco el "lunes", el "jueves", el "fin de semana" y los "feriados". No conozco "mañana" porque mañana es día, y hoy es día. No conozco "ayer", porque ayer fue día y hoy es día. Si ayer fue día y mañana es día, entonces mañana es ayer pero ayer fue mañana. Ambos son hoy. Hoy es día.

¿Qué hiciste el día? El día yo me desperté y desayuné una banana, porque eso hago todos los días.

Después, siguiendo la rutina de los días día, fui a mi habitación y resolví algunos problemas o trabajos de algunas materias.

Practiqué un poco de FMC, y después habré hecho algo más. No me acuerdo. Seguro sea lo que sea que esté por hacer hoy.

Mí teléfono me miente, dice "viernes", también avisa, "viernes santo, feriado", pero sabemos que miente porque hoy no es nada de eso, hoy es día.

Ayer fue feriado, dijo. Falso, ayer fue día.

Mañana puede ser también feriado, puede ser mi cumpleaños, o puede ser navidad.

Quizás podría ser el cumpleaños de Guido Kaczka. Eso tendría más sentido porque él cumple años el día.

Al hablar con un amigo que vive el día, supusimos que el día se puede tratar o bien de un día que no existe, o bien de día.

Vagos recuerdos de nuestra mente nos dicen que antes había más que día, pero no logramos recordar para qué, o qué significaba eso. ¿Ayer era diferente de mañana? Nos parece absurdo. Ayer fue día y mañana es día. Por lo tanto, son lo mismo.

Y hoy es ambos.

Hoy es día.

Es una ventaja a la hora de hablar con gente de otros países, porque siempre es día y no hay confusiones con los días.

Puede ser algo confuso a la hora de fijar plazos, porque el tiempo límite es día, y eso fue ayer, pero es mañana.

Incluso, se conocen casos de hora. ¿Qué hora es? Hora. Me despierto a la hora, y me voy a dormir cuando es hora. Cuando afuera está oscuro es hora, cuando afuera hay sol es hora. No lo sé porque no veo el exterior. Es muy probable que el exterior no sea. ¿Qué cosa? No estoy seguro, pero no lo es.

Es hora de comer algo. ¿Según quién? No se sabe. La última vez que comí algo fue en hora, y el día. Es hora de dormir. ¿Por qué? Porque es hora. Algo dice que eso debe suceder, aunque no se sabe qué es.

Mañana será día. Al despertarse será día.

"Se extenderá dos semanas más". Perdón, no comprendo. Semana, debe ser el nombre de alguien. Me suena haber escuchado esa palabra antes de marzo del 2020, pero no la recuerdo. Supongo que tiene algo que ver con lo que llamaban "domingo". "Día hábil". No tiene sentido llamar así a "los días" si hay solo día. Sería como hablar de "las Tierras" o "los cielos".

Bueno, te dejo, me tengo que ir. Tengo algo importante a la hora del día. Me tengo que preparar para el día día.