Aclaración: voy a hablar sobre cómo estimar los decimales después de la coma, no de cómo estimar la parte entera.
Sí, es bastante útil saber los cuadrados del 0 al 100 de memoria. :p
Pasos:
- Hallar el entero más cercano que al elevarlo al cuadrado de algo menor a nuestro número. Le vamos a decir A.
- Ejemplo: ¿raíz de 1000? 32² es 1024 y me paso, 31² es 961, por lo que la rta. es 31.
- Ejemplo 2: ¿raíz de 1427? 38² es 1444 y me excedo, 37² es 1369, por lo tanto la rta. es 37.
- Restar el cuadrado de A del número al que querés radicar; le vamos a decir D (por 'diferencia').
- Ejemplo: en el caso de 1000, le debo restar 31² = 961 para obtener 39.
- Ejemplo 2: en el caso de 1427, le debo restar 37² = 1369 para obtener 58.
- Multiplicar A por 2.
- Calcular aproximadamente, redondeando fuerte, D / (2A). Lo vamos a llamar M (por 'mantisa').
- Sumar A + M para obtener el resultado final.
Algunos ejemplos:
¿Raíz cuadrada de 6666? Esto está cerca de 6400=80², así que A va a estar cerca de 80.
81² es 6561, 82² es 6724; me pasé, así que A = 81.
La diferencia D es 6666-6561 = 105.
La mantisa M es 105/162, aproximadamente 10/16 que es 5/8 = 0.625
Por lo que estimamos raíz de 6666 como 81.625. El resultado exacto es 81.6455...
Nota: 105/162 es exactamente 0.6481..., así que eso nos daría un resultado final casi exacto. Cuanto menos redondeo, mejor.
¿Raíz cuadrada de 9432? Sé que 97² es 9409 y 98² es 9604, así que A = 97.
La diferencia entre 9432 y 9409 es D = 23.
La mantisa M es 23/194, lo que es casi 25/200 = 1/8 = 0.125.
Así que estimamos que la raíz de 9432 es 97.125. El resultado exacto es 97.118484...
Bonus: también podemos calcular A como el primer entero que supera al número en cuestión; la única diferencia es que M quedará negativo:
¿Raíz cuadrada de 2020? Me acuerdo que 45² es 2025; se pasa, pero vamos a usarlo.
La diferencia D es 2020-2025 = -5 (¡negativo!).
La mantisa M será -5/90 = -1/18 = (-1/2) * (1/9) = la mitad de -0.1111... = -0.05555...
Por lo que estimamos que la respuesta será 44.94444... La respuesta exacta es 44.9444101 (!!!!!)
Podemos ver que esto funciona de maravilla cuando calculamos bien la mantisa, y cuando el resultado está cerca de un entero.
A continuación una breve explicación de su funcionamiento:
Queremos hallar la raíz cuadrada de un número N. Podemos estimar la parte entera con mucha facilidad, pero nos queda una parte fraccionaria. Entonces decimos:
√N = A + M
Siendo A la parte entera y M la parte fraccionaria.
Elevando ambos miembros al cuadrado hallamos que:
N = (A+M)² = A²+M²+2AM
No, no son las 2am ahora mismo.
En definitiva, vemos que el número N se puede descomponer como A²+M²+2AM.
Conocemos A², así que le vamos a restar eso a N para obtener:
N-A² = A²+M²+2AM-A² = M²+2AM
Y como estimamos que A será mucho mayor a M, podemos decir que estas dos expresiones son aproximadamente iguales:
M²+2AM ≈ 2AM
Entonces, concluimos aquí que:
N-A² = 2AM
Recordemos que N-A² es lo que antes hacíamos calculando, por ejemplo, 2020-1936 y llamábamos D (la diferencia entre el valor que tenemos y el cuadrado de nuestra estimación entera).
Despejamos la nueva mantisa M de allí y obtenemos:
M = D/(2A)
Finalmente, uniendo esta serie de deducciones estimamos:
√N ≈ A + (D / 2A)
Sólo quedará calcular bien D/(2A); cuanto menor la aproximación, menor el resultado, pero claro está que el resultado final también depende de cuán pequeño sea el valor exacto real de M (porque lo estamos reemplazando por 0 en un paso, para simplificar las cuentas).
Vemos que estas dos funciones son muy parecidas en el entorno de la raíz (en este caso, 10, ya que 10² = 100).
No hay más magia que esto, es una forma rara de hallar una aproximación lineal a la función cuadrática en ese punto, pero mecanizando un poco el método para que sea más fácil de hacer, por ejemplo, mentalmente.
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Sí, las maravillas de la cuarentena. No salgo hace casi 858 horas de casa.
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